Še en paradoks in miselni poskusi
Ta zbirka vam bo vzela veliko manj časa za branje kot za razmislek o paradoksih, predstavljenih v njej. Nekateri problemi so nasprotujoči le na prvi pogled, drugi pa se tudi po več sto letih intenzivnega duševnega dela nad njimi največjih matematikov, filozofov in ekonomistov zdijo nerešljivi. Kdo ve, morda boste vi sami lahko oblikovali rešitev za eno od teh težav, ki bo postala, kot pravijo, učbenik in bo vključena v vse učbenike.
1. Paradoks vrednosti
Pojav, znan tudi kot paradoks diamantov in vode ali paradoks Smitha (imenovan po Adamu Smithu, klasičnem ekonomistu, ki naj bi prvi oblikoval ta paradoks), je, da je voda kot vir veliko bolj uporabna kot koščki kristala ogljik, ki mu rečemo diamanti, cena slednjega na mednarodnem trgu je neprimerljivo višja od stroškov vode.
Adam Smith
S stališča preživetja človeštvo resnično potrebuje vodo veliko več kot diamanti, vendar so njene rezerve seveda večje od tistih, ki jih imajo diamanti, zato strokovnjaki trdijo, da v razliki v ceni ni nič čudnega - nenazadnje govorimo o stroških na enoto vsakega vira, in to v veliki meri določa to dejavnik, kot je mejna uporabnost.
S stalnim dejanjem porabe vira, njegove mejne uporabnosti in posledično stroškov neizogibno pade - ta vzorec je v 19. stoletju odkril pruski ekonomist Hermann Heinrich Gossen. Preprosto povedano, če človeku dosledno ponujajo tri kozarce vode, bo spil prvega, iz drugega spral vodo, tretji pa bo šel na tla.
Promocijski video:
Večina človeštva ne doživlja akutne potrebe po vodi - da bi jo zadostili, morate samo vklopiti vodovodno pipo, vendar nimajo vsi diamanti, zato so tako dragi.
2. Paradoks umorjenega dedka
Ta paradoks je leta 1943 predlagal francoski pisatelj znanstvene fantastike Rene Barzhavel v svoji knjigi Brezbrižni popotnik (izvirnik Le Voyageur Imprudent).
Rene Barzhavel
Recimo, da vam je uspelo izumiti časovni stroj in ste se na njem odpravili v preteklost. Kaj se zgodi, če tam srečaš dedka in ga ubiješ, preden je spoznal tvojo babico? Verjetno ne bo vsem všeč ta krvoločni scenarij, zato recimo preprečite sestanek na drug način, na primer ga odpeljete na drugi konec sveta, kjer o njegovem obstoju ne bo nikoli izvedel, paradoks iz tega ne izgine.
Če sestanek ne bo potekal, se ne bosta rodila mati ali oče, ne bo vam ga mogla spočeti in si v skladu s tem ne boste izmislili časovnega stroja in se ne bo vrnil v čas, tako da se bo dedek lahko brez ovire poročil z babico, imeli bodo enega od vaših staršev in tako naprej. - paradoks je očiten.
Zgodbo o dedu, ubitem v preteklosti, znanstveniki pogosto navajajo kot dokaz temeljne nemožnosti potovanja v času, vendar nekateri strokovnjaki trdijo, da je paradoks pod določenimi pogoji precej rešljiv. Na primer, s tem, ko bo ubil svojega dedka, bo časovni popotnik ustvaril nadomestno različico resničnosti, v kateri se ne bo nikoli rodil.
Poleg tega mnogi predlagajo, da tudi človek, ki je padel v preteklost, ne bo mogel vplivati nanj, saj bo to privedlo do spremembe v prihodnosti, katere del je. Na primer, poskus umora dedka je namerno obsojen na neuspeh - navsezadnje, če vnuk obstaja, potem je njegov dedek, tako ali drugače, preživel poskus atentata.
3. Ladja Tezej
Ime paradoks je dobil po enem od grških mitov, ki opisujejo podvige legendarnega Tezeja, enega od atenskih kraljev. Po legendi so Ateni nekaj sto let obdržali ladjo, na kateri se je Tezej vrnil v Atene z otoka Kreta. Seveda se je ladja postopoma propadala, mizarji pa so gnilo desko zamenjali z novimi, zaradi česar v njej ni ostal kos starega lesa. Najboljši možje na svetu, tudi ugledni filozofi, kot sta Thomas Hobbes in John Locke, že stoletja razmišljajo o tem, ali bi bilo mogoče, da bi se teh ladij znašel na tej ladji.
Bistvo paradoksa je torej naslednje: če vse dele predmeta zamenjate z novimi, ali je lahko isti objekt? Poleg tega se postavlja vprašanje - če sestavite popolnoma enak predmet iz starih delov, kateri od obeh bo "enak"? Predstavniki različnih filozofskih šol so na ta vprašanja dali povsem nasprotne odgovore, vendar obstajajo nekatera nasprotja v možnih rešitvah Tezejevega paradoksa.
Mimogrede, če upoštevamo, da se celice našega telesa skoraj sedem let skoraj popolnoma obnavljajo, ali lahko domnevamo, da v ogledalu vidimo isto osebo kot pred sedmimi leti?
4. Galilejev paradoks
Pojav, ki ga je odkril Galileo Galilei, dokazuje nasprotujoče si lastnosti neskončnih množic. Kratka formula paradoksa je naslednja: toliko je naravnih števil, kolikor je kvadratov, torej je število elementov neskončnega niza 1, 2, 3, 4 … enako številu elementov neskončnega niza 1, 4, 9, 16 …
Na prvi pogled tu ni protislovja, vendar isti Galileo v svojem delu "Dve znanosti" zatrjuje: nekatera števila so natančna kvadrata (to je, da lahko iz njih izvlečete cel kvadratni koren), drugi pa zato niso natančni kvadratki skupaj z navadnimi števili mora biti več kot en natančen kvadrat. Medtem je v "Znanostih" že prej postavljen postulat, da obstaja toliko kvadratkov naravnih števil, kolikor je samih naravnih števil, in ti dve trditvi sta drug drugemu neposredno nasprotni.
Tudi sam Galileo je menil, da je paradoks mogoče razrešiti le v zvezi s končnimi množicami, vendar je Georg Cantor, eden od nemških matematikov 19. stoletja, razvil svojo lastno teorijo množic, po kateri Galileov drugi postulat (približno enako število elementov) velja tudi za neskončne množice. Za to je Cantor uvedel koncept kardinalnosti, ki je sovpadel v izračunih za oba neskončna niza.
5. Paradoks varčnosti
Najbolj znana formulacija radovednega gospodarskega pojava, ki sta jo opisala Waddill Ketchings in William Foster, je: "Več ko bomo odložili za deževen dan, prej bo prišel." Da bi razumeli bistvo protislovja, ki ga vsebuje ta pojav, malo ekonomske teorije.
William Foster
Če med gospodarsko recesijo velik del prebivalstva začne varčevati s prihranki, se skupno povpraševanje po blagu zmanjša, kar posledično vodi do zmanjšanja zaslužka in posledično do padca splošne ravni varčevanja in zmanjšanja prihrankov. Preprosto povedano, obstaja nekakšen začaran krog, kjer potrošniki porabijo manj denarja, a s tem poslabšajo svoje počutje.
Paradoks varčnosti je na nek način analogen problemu v teoriji iger, ki se imenuje dilema zapornika: dejanja, ki so koristna za vsakega udeleženca v posamezni situaciji, so škodljiva za njih kot celoto.
6. Paradoks Pinocchio
To je podvrsta filozofskega problema, znanega kot lažniv paradoks. Ta paradoks je po obliki preprost, nikakor pa po vsebini. Lahko se izrazi s tremi besedami: "Ta izjava je laž" ali celo z dvema besedama - "Lažem." V različici s Pinocchiom je problem formuliran na naslednji način: "Moj nos zdaj raste."
Mislim, da razumete protislovje, ki ga vsebuje ta izjava, ampak za vsak slučaj, naključimo vse: če je fraza pravilna, potem nos res raste, vendar to pomeni, da v tem trenutku lažijo možgani papeža Carla, kar ne more biti, tako saj smo že ugotovili, da je izjava resnična. To pomeni, da nos ne bi smel rasti, če pa to ne ustreza realnosti, izjava še vedno drži, kar pa posledično kaže na to, da Pinocchio laže … In tako naprej - verigo medsebojno izključujočih vzrokov in učinkov lahko nadaljujemo v nedogled.
Paradoks lažnivca prikazuje nasprotje med izjavo v pogovornem govoru in formalno logiko. Z vidika klasične logike je težava nerešljiva, zato se izjava "lažem" sploh ne šteje za logično.
7. Russell-ov paradoks
Paradoks, ki ga je njegov odkritelj, slavni britanski filozof in matematik Bertrand Russell, imenoval nič drugega kot brivski paradoks, strogo gledano, lahko štejemo za eno od oblik paradoksa lažnivca.
Recimo, ko se sprehajate mimo frizerja, na njem vidite oglas: "Ali se briš? Če ne, ste dobrodošli, da se obrijete! Jaz brijem vsakogar, ki se ne brije sam, in nikogar več! " Naravno je, da si zastavite vprašanje: kako brivec sam reši svoje strnišče, če britje samo tiste, ki se ne brijejo sami? Če si sam ne obrije brade, je to v nasprotju z njegovo hvalevredno izjavo: "Obrijem vse, ki se ne brijejo sami."
Seveda je najlažje domnevati, da ozko misleči brivec preprosto ni razmišljal o protislovju, ki ga vsebuje njegova tabla, in pozabil na to težavo, a poskusiti razumeti njegovo bistvo je veliko bolj zanimivo, čeprav bo za to potreben kratek potop v teorijo matematičnih množic.
Russell-ov paradoks izgleda takole: "Naj bo K množica vseh nizov, ki se ne vsebujejo kot ustrezen element. Ali K vsebuje sebe kot svoj element? Če je odgovor pritrdilen, to zavrača trditev, da množice v svoji sestavi "ne vsebujejo sebe kot ustreznega elementa", če ne, obstaja protislovje s tem, da je K množica vseh nizov, ki ne vsebujejo sebe kot ustreznega elementa, zato mora K vsebovati vsi možni elementi, tudi ti."
Težava nastane zaradi dejstva, da je Russell v svojih sklepih uporabil koncept "množice vseh sklopov", ki je sam po sebi precej protisloven in ga je vodil zakon klasične logike, ki ni uporaben v vseh primerih (glej šesti odstavek).
Odkritje brivskega paradoksa je izzvalo vroče razprave v različnih znanstvenih krogih, ki še danes niso popustili. Da bi "shranili" teorijo množic, so matematiki razvili več sistemov aksiomov, vendar ni dokazov o doslednosti teh sistemov in po mnenju nekaterih znanstvenikov tega ni mogoče.
8. Paradoks za rojstni dan
Bistvo težave je v tem: če obstaja skupina 23 ali več ljudi, je verjetnost, da imata dva enak rojstni dan (dan in mesec), večja od 50%. Pri skupinah s 60 ljudmi je možnost več kot 99%, vendar doseže 100% le, če je v skupini vsaj 367 ljudi (če upoštevamo preskočna leta). O tem priča princip Dirichlet, imenovan po svojem odkritju, nemškem matematiku Petru Gustavu Dirichletu.
Peter Gustav Dirichl
Strogo gledano, z znanstvenega vidika ta trditev ne nasprotuje logiki in zato ni paradoks, ampak odlično prikazuje razliko med rezultati intuitivnega pristopa in matematičnimi izračuni, saj se na prvi pogled za tako majhno skupino zdi verjetnost naključja močno precenjena.
Če upoštevamo vsakega člana skupine posebej in ocenimo verjetnost, da bo njihov rojstni dan sovpadal z nekom drugim, je možnost za vsako osebo približno 0,27%, tako da bi morala biti skupna verjetnost za vse člane skupine približno 6,3% (23 / 365). Toda to je v osnovi napačno, saj je število možnih možnosti za izbiro določenih parov 23 ljudi veliko večje od števila njegovih članov in je (23 * 22) / 2 = 253, ki temelji na formuli za izračun tako imenovanega števila kombinacij iz danega niza. Ne bomo se poglabljali v kombinatoriko, pravilnost teh izračunov lahko preverite v prostem času.
Pri 253 različicah parov je verjetnost, da bosta mesec in datum rojstva udeležencev enega od njiju enaka, kot ste verjetno uganili, precej večja od 6,3%.
9. Problem piščanca in jajc
Zagotovo je vsak od vas vsaj enkrat v življenju postavil vprašanje: "Kaj se je najprej pojavilo - piščanec ali jajce?" Izkušeni v zoologiji vedo odgovor: ptice so se rodile iz jajc že veliko pred pojavom vrst piščancev med njimi. Omeniti velja, da gre v klasični formulaciji le za ptico in jajce, omogoča pa tudi enostavno rešitev: navsezadnje so se na primer pred pticami pojavili dinozavri, ki so se pomnožili tudi s polaganjem jajc.
Če upoštevamo vse te posebnosti, lahko težavo oblikujemo na naslednji način: tisto, kar se je pojavilo prej - prva žival, ki odloži jajca, ali svoje jajce, ker se je od nekod moral izvaliti predstavnik nove vrste.
Glavna težava je vzpostaviti vzročno zvezo med pojavi meglene glasnosti. Za popolnejše razumevanje tega si oglejte načela meglene logike - posplošitve klasične logike in teorije množic.
Preprosto povedano, dejstvo je, da so živali v času evolucije prestale nešteto vmesnih faz - to velja tudi za metode vzreje. Na različnih evolucijskih stopnjah so postavili različne predmete, ki jih ni mogoče nedvoumno identificirati kot jajca, vendar imajo z njimi nekaj podobnosti.
Verjetno za to težavo ni objektivne rešitve, čeprav je na primer britanski filozof Herbert Spencer predlagal to možnost: "Piščanec je samo način, kako eno jajce ustvari drugo jajce."
10. Izginotje celic
Za razliko od večine drugih paradoksov zbirke ta igriv "problem" ne vsebuje nasprotij, temveč služi za treniranje opazovanja in se spomni osnovnih zakonov geometrije.
Če ste seznanjeni s takšnimi nalogami, lahko preskočite gledanje videoposnetka - vsebuje rešitev. Vsem drugim predlagamo, da se ne povzpnejo, kot pravijo, "do konca učbenika", temveč da razmislijo: področja večbarvnih figur so popolnoma enaka, ko pa jih preuredite, ena od celic "izgine" (ali postane "nepotrebna" - odvisno od različice položaja) velja za začetno). Kako je to lahko?
Namig: v začetku je problem z majhnim trikom, ki zagotavlja njegovo "paradoksalnost", in če ga najdete, bo vse takoj postavilo na svoje mesto, čeprav celica še vedno "izgine".