Ne glede na to, ali nameravate preveriti, kako hitro lahko napolnite kavni avtomat ali preprosto preštejete korake do avtobusnega postajališča zjutraj, je nekaj o monotonosti vsakdanjega življenja, zaradi česar ga skušamo spremeniti v igro. Prebivalci pruskega mesta Konigsberg iz osemnajstega stoletja (zdaj, kot veste, to je Kaliningrad) so bili enaki kot vsi mi. Prav igra, ki so jo igrali s sedmimi mostovi v njihovem mestu, je nekega dne vzbudila zanimanje enega največjih matematikov v človeški zgodovini.
Konigsberg je bil zgrajen na bregovih reke Pregel (Pregolya), ki je mesto razdelila na štiri ločena stanovanjska območja. Ljudje so se premikali z enega območja na drugega skozi sedem različnih mostov. Po legendi je bila priljubljena zabava med nedeljskimi sprehodi poskusiti prečkati celotno mesto, da bi vsak most prečkali samo enkrat. Nihče ni ugotovil, kako to storiti, vendar to ne pomeni, da problem nima rešitve. Morali so samo iti do pravega strokovnjaka, da ga spoznajo.
Leta 1735 je župan mesta Danzig (danes poljski Gdansk), ki se nahaja 120 kilometrov zahodno od Konigsberga, Karl Leonard Gottlieb Ehler, Leonardu Eulerju poslal pismo, v katerem je prosil za pomoč pri reševanju tega problema v imenu lokalnega profesorja matematike po imenu Heinrich Kuehn. Že takrat je bil Euler znan in zelo uspešen matematik - svojo prvo knjigo je izdal v letu dni po tem pismu, v vsem življenju pa je napisal več kot 500 knjig in člankov.
Zato ni presenetljivo, da je Euler sprva pomislil, da se je spoprijel s to težavo, pod njegovim dostojanstvom, in v odgovor napisal: "Torej, spoštovani gospod, ta vrsta rešitve praktično ni povezana z matematiko in ne razumem, zakaj imate opravka prošnjo matematiku in ne komu drugemu, saj odločitev temelji le na zdravi pameti in ni odvisna od nobenega od znanih matematičnih načel."
Na koncu pa sta Ehler in Kühn uspela prepričati Eulerja in spoznal je, da gre za povsem novo vrsto matematike - "geometrijo položajev", danes znano kot topologija. V topologiji natančna oblika ali lokacija predmeta ni pomembna. Obstaja celo stara šala, da topolog ne zna ugotoviti razlike med krofom in skodelico za kavo, saj imata oba predmeta točno eno luknjo. Dotlej je bilo o tem popolnoma novem področju matematike le napisano, vendar še nihče ni razumel, katere težave bi lahko rešil. Sedem Konigsberških mostov je bilo odlična eksperimentalna potrditev nove teorije, saj težava ni potrebovala nobenih meritev niti natančnih izračunov. Kompleksni zemljevid mesta lahko spremenite v preprost in razumljiv graf (diagram), ne da bi pri tem izgubili pomembne podatke.
Medtem ko bi morda kdo skušal rešiti to težavo s preslikavo vseh možnih poti skozi mesto, je Euler takoj spoznal, da bo ta strategija trajala predolgo in da ne bo delovala z drugimi podobnimi težavami (kaj, če bi jih bilo recimo dvanajst mostovi?). Namesto tega se je odločil, da se za nekaj časa odpoči od mostov in je označil zemljo s črkami A, B, C in D. Tako je potovanje čez most od območja A do območja B lahko opisal kot AB in pot od območja A do območja B D kot ABD. Tu je pomembno opozoriti, da bo število črk v opisu poti vedno eno več kot število prestopanih mostov. Tako pot AB prečka en most, trasa ABD pa prečka dva mostova in tako naprej. Euler je spoznal, da ker je v Konigsbergu sedem mostov, da bi jih prestopil,pot mora biti sestavljena iz osmih črk, kar pomeni, da bo za rešitev problema potrebno točno osem črk.
Nato je prišel do splošnejšega pravila s še bolj poenostavljeno shemo. Če bi imeli samo dva nadzemna odseka, A in B, in enkrat prečkali most, bi lahko v odseku A prišli tam, kjer se je pot začela ali kjer se je končala, v oddelku A pa bi bili samo enkrat. Če bi enkrat prečkali mostove a, b in c, bi bili na odseku A točno dvakrat. To je privedlo do priročnega pravila: če imate enakomerno število mostov, ki vodijo do enega kosa zemlje, morate k tej številki dodati enega, nato pa skupno število razdeliti za dva, da ugotovite, kolikokrat naj bo ta odsek uporabljen med potjo. (v tem primeru dodamo enega na število mostov, torej na 3, dobimo štiri, če štiri delimo na dva, dobimo dva,to pomeni, da je točno dvakrat med potjo prečkan odsek A).
Promocijski video:
Ta rezultat je Eulerja vrnil k prvotni težavi. Na oddelek A vodi pet mostov, zato bo treba osemčrkovno rešitev, ki jo išče, prečkati trikrat. Odseki B, C in D imajo dva mostova, ki vodita do njih, zato mora vsak prečkati dvakrat. Toda 3 + 2 + 2 + 2 je 9, ne 8, čeprav glede na pogoj morate iti samo skozi 8 odsekov in prečkati 7 mostov. To pomeni, da je nemogoče skozi celoten grad Königsberg uporabiti vsak most točno enkrat. Z drugimi besedami, v tem primeru problem nima rešitve.
Vendar se kot vsak pravi matematik tudi Euler ni ustavil. Nadaljeval je z delom in ustvaril bolj splošno pravilo za druga mesta z drugačnim številom mostov. Če ima mesto neparno število mostov, potem obstaja preprost način, kako ugotoviti, ali lahko opravite takšno potovanje ali ne: če je vsota števila pojavitev vsake črke, ki označuje kos zemlje, ena večja od števila mostov (kot je na primer v osemčrkovni rešitvi približno že omenjeno) je takšna pot mogoča. Če je vsota večja od te številke, je nemogoče.
Kaj pa enakomerno število mostov? V tem primeru je vse odvisno od tega, kje začeti. Če začnete v oddelku A in potujete čez dva mostova, se A v vaši rešitvi pojavi dvakrat. Če začnete na drugi strani, se bo A pojavil samo enkrat. Če obstajajo štirje mostovi, se A pojavi trikrat, če je bil ta odsek izhodišče, ali dvakrat, če ni bil. V splošnem to pomeni, da se mora pot, če se pot ne začne iz odseka A, prečkati dvakrat toliko kot število mostov (štirje razdeljeni na dva dajeta dva). Če se pot začne od oddelka A, se mora sekati še enkrat.
Genialnost Eulerjeve rešitve ni v odgovoru, ampak v metodi, ki jo je uporabil. Bil je eden najzgodnejših primerov teorije grafov, znan tudi kot teorija omrežij, zelo iskanega področja matematike v današnjem svetu, polnem prometnih, družbenih in elektronskih omrežij. Kar zadeva Konigsberg, je mesto na koncu dobilo še en most, zaradi česar je bila Eulerjeva odločitev sporna, nato pa so britanske sile med drugo svetovno vojno uničile večino mesta. Danes imata mesto in reka nova imena, toda stara težava živi na popolnoma novem področju matematike.
Igor Abramov